Презентация «Медиана числового набора. Устойчивость медианы.»

Описание

Презентация «Медиана числового набора. Устойчивость медианы»

Презентация предназначена для уроков № 10–11 по предмету «Вероятность и статистика» в 7 классе. Материал посвящён понятию медианы числового набора, алгоритму её нахождения и свойству устойчивости медианы к отдельным очень большим или очень маленьким значениям.

Презентация построена от простого определения к практическим примерам. Учащиеся сначала знакомятся с медианой как мерой центра числового набора, затем учатся находить её в наборах с нечётным и чётным количеством значений, сравнивают медиану со средним арифметическим и разбирают, почему медиана часто лучше характеризует типичное значение при наличии выбросов.

Что рассматривается в презентации

• понятие числового набора;
• медиана как мера центра;
• упорядочивание значений по возрастанию;
• нахождение медианы при нечётном количестве значений;
• нахождение медианы при чётном количестве значений;
• полусумма двух центральных значений;
• положение медианы в упорядоченном наборе;
• различие между медианой и средним арифметическим;
• устойчивость медианы;
• понятие выброса;
• медиана в практических задачах;
• медиана в наборе с повторяющимися значениями;
• работа с таблицей частот;
• тренировочные задания с самопроверкой;
• рефлексия по итогам изучения темы.

Понятие медианы

В начале презентации объясняется, что медиана — это значение, находящееся в середине упорядоченного числового набора. Половина данных не больше медианы, а половина — не меньше неё.

На наглядном примере показывается, что перед нахождением медианы числа необходимо обязательно расположить по возрастанию. Учащиеся также узнают, что медиана находится в середине ряда по количеству элементов и не обязана быть геометрической серединой отрезка на числовой прямой.

Алгоритм нахождения медианы

В презентации приведён пошаговый алгоритм:

• записать все значения набора;
• расположить их по возрастанию;
• определить, чётное или нечётное количество значений;
• при нечётном количестве выбрать центральное значение;
• при чётном количестве найти среднее арифметическое двух центральных значений.

Отдельно подчёркивается важное правило: без упорядочивания значений медиану находить нельзя, поскольку число, стоящее в середине исходной записи, может оказаться случайным.

Медиана при нечётном количестве значений

На примере набора баллов за мини-тест подробно разбирается случай, когда количество значений нечётное. После упорядочивания семи чисел центральным оказывается четвёртое значение, поэтому медиана равна 8.

Учащиеся видят, что слева и справа от медианы находится одинаковое количество значений. Также вводится правило определения позиции медианы при нечётном количестве элементов: (n + 1) : 2.

Медиана при чётном количестве значений

Для набора из шести значений показывается ситуация, когда одного центрального числа нет. В этом случае выбираются два центральных значения и вычисляется их полусумма.

На примере времени выполнения задания медиана определяется как:

(6 + 7) : 2 = 6,5.

Отдельно отмечается, что при чётном количестве значений медиана может не совпадать ни с одним числом исходного набора.

Среднее арифметическое и медиана

Важная часть презентации посвящена сравнению медианы со средним арифметическим. На двух числовых наборах показывается, что появление одного резко отличающегося значения значительно меняет среднее арифметическое, но может не изменить медиану.

Например, для набора 2, 3, 4, 5, 6 медиана и среднее равны 4. Если последнее число заменить на 36, медиана останется равной 4, а среднее арифметическое увеличится до 10.

Таким образом учащиеся подводятся к выводу, что медиана более устойчива к отдельным крайним значениям, чем среднее арифметическое.

Устойчивость медианы и выбросы

В презентации вводится понятие устойчивости медианы — способности сохранять положение центра набора при появлении отдельных очень больших или очень маленьких значений.

Также объясняется понятие выброса. На примере показано, что замена числа 8 на 80 не меняет медиану: в обоих случаях центральным остаётся число 5. Выброс сильно изменяет масштаб числового ряда, но не обязательно влияет на его центральную позицию.

Практический пример: расходы за неделю

Для закрепления понятия используется пример ежедневных расходов семьи. Сначала рассматривается обычный набор расходов, в котором медиана равна 250 рублей.

Затем одно из значений заменяется на 1200 рублей. Несмотря на резкое увеличение одного расхода, медиана остаётся равной 250 рублям, а среднее арифметическое заметно возрастает. Это позволяет наглядно увидеть, почему медиана часто лучше показывает типичное значение при наличии выбросов.

Медиана в наборе с повторяющимися значениями

Отдельный слайд посвящён наборам, в которых одни и те же числа встречаются несколько раз. Учащиеся узнают, что повторяющиеся значения не удаляются и учитываются столько раз, сколько они встречаются.

На примере оценок за самостоятельную работу показывается, как найти медиану в наборе из восьми значений и как восстановить упорядоченный ряд по таблице частот.

Тренировочные задания

Для закрепления материала предусмотрены четыре задания разного типа. Учащиеся находят медиану:

• в наборе с нечётным количеством значений;
• в наборе с чётным количеством значений;
• в наборе с выбросом;
• в наборе с повторяющимися значениями.

После выполнения заданий можно сразу провести самопроверку по готовым ответам. В презентации также предлагается план решения: упорядочить набор → определить количество значений → выбрать правило → записать медиану.

Рефлексия

Последний слайд выполнен в формате «Светофор». Учащиеся оценивают, насколько хорошо они научились находить медиану и объяснять её устойчивость.

• Красный — нужно ещё раз разобрать алгоритм нахождения медианы;
• Жёлтый — правило понятно, но требуется дополнительная тренировка;
• Зелёный — ученик может самостоятельно найти медиану и объяснить её устойчивость.

Для завершения урока предлагается фраза: «Сегодня я понял(а), что медиана — это…».

Презентация поможет учителю:

• объяснить понятие медианы числового набора;
• показать алгоритм нахождения медианы;
• разобрать случаи с чётным и нечётным количеством значений;
• сравнить медиану и среднее арифметическое;
• объяснить понятия «устойчивость медианы» и «выброс»;
• организовать практическую тренировку;
• провести самопроверку и рефлексию в конце урока.

Предмет: Вероятность и статистика.

Класс: 7 класс.

Уроки: № 10–11.

Количество слайдов: 12.

Тема: «Медиана числового набора. Устойчивость медианы».